paralelní rezonanční obvod

zadání

Je dán paralelní rezonanční obvod podle schématu


f0=460 kHz

Ri=20 k

L=242,5 H

Rz=5,5 k

Q0=100


  1. Určete C1 a C2 tak, aby po připojení odporu Rz=5,5 k byla šířka pásma B3=10 kHz

  2. Ve společném grafu vyneste frekvenční závislosti impedance obvodu na svorkách cívky
    pro případy: a) naprázdno (Ri a Rz odpojeny)

b) při zatížení odpory Ri a Rz podle schématu

Rezonanční křivky vyneste v rozsahu alespoň 20 kHz v okolí f0 a vyznačte v nich impedanci
v rezonanci a šířky pásma pro pokles o 3 dB a o 6 dB

  1. Vypočtěte napěťový přenos při rezonanční frekvenci


teoretický rozbor

Vyjděme z admitance paralelního rezonančního obvodu



Za účelem získání vztahu pro rezonanční kmitočet f0 položíme imaginární složku admitance Y rovnu nule



Výraz převedeme na pravou stranu rovnice



Rovnici vynásobíme výrazem L a dostáváme



Nyní rovnici vydělíme výrazem LC



Levou i pravou rovnici odmocníme







Odmocnina podílu je rovna podílu odmocniny čitatele a odmocniny jmenovatele



Za 0 dosadíme výraz 2f0



Rovnici vydělíme výrazem 2



Získali jsme tak tzv. Thomsonův vzorec, do kterého je však nutno dosazovat v uvedených jednotkách, což je nepraktické. Zavádíme proto jednodušší vztah používající pro kmitočet jednotek MHz, pro indukčnost jednotek H a pro kapacitu jednotek pF.



Umocníme




Rovnici vydělíme výrazem 42.1012




A získáváme výraz



Z něj také jednoduše odvodíme vztahy pro hodnoty prvků obvodu



Pro paralelní rezonanční obvod vyjadřujeme ztráty v reálných součástkách použitých k jeho konstrukci paralelními ztrátovými odpory RL a RC. Jejich paralelní kombinací je tvořen ztrátový odpor Rpo, pomocí nějž definujeme tzv. činitel jakosti obvodu naprázdno Q0




V provozních podmínkách je obvod připojen ke zdroji signálu s vnitřním odporem Ri a k zátěži Rz. Paralelní kombinace těchto odporů tvoří vnější tlumící odpor Rtl. Tento odpor se paralelně řadí k odporu Rpo a tvoří s ním odpor Rp, pomocí nějž definujeme tzv. provozní činitel jakosti






Pokud budíme obvod z napěťového zdroje s napětím naprázdno u1 a s vnitřním odporem Ri, lze tento transformovat na proudový zdroj s vnitřním odporem Ri a proudem




Porovnejme nyní provozní činitel jakosti Q s činitelem jakosti naprázdno




kde Rp je paralelní kombinace Rpo a Rtl


Odstraníme složený zlomek a dostáváme



tedy



Rovněž můžeme odvodit vztah pro odpor Rtl



Roznásobíme



a vytkneme Rtl




Jmenovatele hlavního zlomku převedeme na společného jmenovatele



Po odstranění složeného zlomku dostáváme



Vztahy (5a) a (5b) neplatí pouze pro výše zmiňovaný případ, ale lze je použít i pro případ připojení dalšího tlumícího odporu k rezonančnímu obvodu. Namísto Q0 pak dosazujeme původní Q před připojením dalšího tlumícího odporu Rtl. Místo Rpo dosazujeme původní odpor Rp.

Často se za účelem snížení tlumení připojuje tlumící odpor k odbočce v indukční nebo kapacitní větvi.



Označme napěťový převod příslušné odbočky p, pro odbočku v indukční větvi platí



a pro odbočku v kapacitní větvi





Pro napětí u2 platí



Pro proud i2 platí



Pro transformovaný odpor platí



protože platí získáváme pro hodnotu transformovaného odporu vztah



Odpor připojený k odbočce v indukční nebo kapacitní větvi se tedy chová jako paralelně připojený odpor R’



Pokud do grafu vyneseme závislost absolutní hodnoty impedance, resp. admitance obvodu na kmitočtu, získáme rezonanční křivku. Tato křivka však není symetrická a nelze pomocí ní porovnávat obvody s různými parametry. Často proto vynášíme rezonanční křivky v poměrném měřítku. Existují různé způsoby, jak tak učinit. Můžeme například vynést poměry absolutní hodnoty impedance, resp. admitance ku impedanci v rezonanci |Z/Z0|, resp. |Y/Y0|a kmitočtu ku rezonančnímu kmitočtu f/f0. V praxi se nejčastěji užívá vyjádření rezonanční křivky pomocí poměrného rozladění F, jež je definováno vztahem



Vraťme se k výrazu (1)



v rezonanci je admitance obvodu tvořena pouze vodivostí , pro poměrnou admitanci tedy platí



Odstraníme složené zlomky


Výraz v závorce vynásobíme výrazem




Nyní před závorku vytkneme výraz 0C



Dosaďme za ze vztahu (1a)



Po zkrácení dostáváme



Výraz v závorce představuje poměrné rozladění F a výraz Rp0C představuje činitel jakosti Q (4)



Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna odmocnině součtu čtverců reálné a imaginární složky


Převrácená hodnota tohoto výrazu představuje poměrnou impedanci


Často pro rezonanční obvod definujeme šířku pásma B. Je to kmitočtový rozdíl f2-f1, odpovídající určité domluvené změně impedance obvodu vzhledem k impedanci v rezonanci. Často se definuje pro změnu impedance o -3 dB, tj. na hodnotu . Poměrná impedance je potom



z čehož jasně vyplývá, že musí platit



Odpovídající poměrná rozladění jsou



Abychom zjistili, které kmitočty f2, f1 odpovídají tomuto poměrnému rozladění, je třeba vyjádřit ze vztahu
pro poměrné rozladění (8) kmitočet f



Rovnici vynásobíme výrazem f0f



Získáváme tak kvadratickou rovnici



pro jejíž kořen platí



znaménko mínus před odmocninou však nemá z fyzikálních důvodů smysl a budeme tedy uvažovat pouze kořen



Ve výrazu pod odmocninou vytkneme f0



Odmocnina součinu je rovna součinu odmocnin jednotlivých činitelů



Vytkneme f0




Podíl odmocnin je roven odmocnině podílu jednotlivých členů



Získáváme tak vztah



Nyní dosadíme za F a vyjádříme šířku pásma B3



Umocníme a odstraníme složené zlomky



Roznásobíme



Po sloučení dostáváme konečný výraz pro šířku pásma pro pokles o 3 dB



Můžeme rovněž vyjádřit vztah pro provozní činitel jakosti



Budíme-li rezonanční obvod z napěťového zdroje s napětím naprázdno u1 a vnitřním odporem Ri lze zjistit napěťový přenos . Jak je uvedeno výše, transformujeme napěťový zdroj na proudový s proudem . Odpor Ri je nyní paralelně připojen k odporu Rpo a Rz a k cívce a kondenzátoru. Paralelní kombinace odporů Ri, Rz a Rpo tvoří odpor Rp.



Z Ohmova zákona vyplývá, že pro napětí u2 platí



Pokud se vrátíme k výrazu pro poměrnou impedanci, můžeme vyjádřit impedanci Z



Dosadíme za Z a i a dostáváme



Vyjádříme napěťový přenos



Při rezonanci, kdy je poměrné rozladění nulové nabývá výraz tvar



Obdobně bychom uvažovali i pro případ, kdy je obvod buzen z napěťového zdroje s odporem Ri připojeným na odbočku v kapacitní nebo indukční větvi. Pouze bychom uvažovali proud proudového zdroje jako podíl napětí naprázdno napěťového zdroje, zmenšeného napěťovým převodem příslušné odbočky, a odporu Ri. Pokud je na odbočce připojen zatěžovací odpor, odebíráme pak napětí u2 z něj a proto přenos vynásobíme napěťovým převodem příslušné odbočky, na kterou je zatěžovací odpor připojen.


Řešení


  1. Určete C1 a C2 tak, aby po připojení odporu Rz=5,5 k byla šířka pásma B3=10 kHz


Nejprve vypočteme provozní činitel jakosti příslušný k požadovanému pásmu B3. Do vztahu (9b) dosadíme konkrétní hodnoty



Nyní vyjádříme odpor Rpo. Vyjádříme ho ze vztahu (3) a dosadíme konkrétní hodnoty




Vyjádříme rovněž odpor Rp ze vztahu (4) a dosadíme konkrétní hodnoty




Ze vztahu (5b) vypočteme hodnotu odporu Rtl



Nyní vypočteme hodnotu transformovaného odporu Ri. Použijeme vztahu (7)



Paralelní kombinace odporu Ri a transformovaného odporu Rz, tedy Rz tvoří odpor Rtl, platí tedy



Vyjádříme Rz – rovnici vynásobíme výrazem Ri+Rz



roznásobíme



Členy s Rz převedeme na jednu stranu, členy bez Rz na druhou


Vytkneme a osamostatníme Rz



Dosadíme konkrétní hodnoty a dostáváme



Známe-li původní a transformovaný odpor, můžeme ze vztahu (7) vyjádřit napěťový převod příslušné odbočky



Dosazením konkrétních hodnot získáme napěťový převod odbočky v kapacitní větvi



Pro napěťový převod odbočky v kapacitní větvi platí vztah (6b), do nějž dosadíme za p



Pro výpočet celkové kapacity (C1 v sérii C2) nyní s výhodou použijeme vztah (2b), do nějž dosadíme



Pro kapacitu C dále platí



Nyní vyřešíme soustavu rovnic (12) a (13)


Z rovnice (12) vyjádříme C1



a dosadíme do (13)



protože kapacita C2 zcela určitě není nulová, můžeme jí celou rovnici vydělit



Získanou hodnotu dosadíme do rovnice (14)



Výsledné kapacity tedy jsou


C1=655,3 pF (případně z řady E6 680 pF)

C2=1997,7 pF (případně z řady E6 1800 pF)

graf kmitočtové závislosti impedance na svorkách cívky – tabulky hodnot


a) obvod naprázdno b) obvod zatížen


f

kHz

|Z|


f

kHz

|Z|

440

7830,799


440

7654,25

441

8246,764


441

8041,31

442

8707,883


442

8467,03

443

9221,861


443

8937,21

444

9798,244


444

9458,82

445

10448,99


445

10040,22

446

11189,28


446

10691,55

447

12038,64


447

11425,10

448

13022,62


448

12255,79

449

14175,19


449

13201,76

450

15542,45


450

14284,85

451

17188,3


451

15530,91

452

19203,44


452

16969,47

453

21719,89


453

18631,57

454

24934,52


454

20543,87

455

29146,32


455

22714,83

456

34806,44


456

25106,93

457

42534,95


457

27590,09

458

52814,09


458

29887,67

459

64246,41


459

31571,66

460

70099,95


460

32200,00

461

64323,57


461

31580,81

462

52974,33


462

29916,63

463

42758,26


463

27650,75

464

35070,07


464

25205,34

465

29435,11


465

22850,73

466

25239,45


466

20713,42

467

22035,58


467

18829,69

468

19526,59


468

17191,22

469

17516,79


469

15771,97

470

15874,89


470

14541,66

471

14510,62


471

13471,45

472

13360,37


472

12536,07

473

12378,23


473

11714,14

474

11530,34


474

10987,90

475

10791,25


475

10342,71

476

10141,5


476

9766,50

477

9565,944


477

9249,33

478

9052,668


478

8782,95

479

8592,149


479

8360,52

480

8176,701


480

7976,31



Vypočtěte napěťový přenos při rezonanční frekvenci


Jak je uvedeno výše, transformujeme napěťový zdroj na zdroj proudový s vnitřním odporem Ri a proudem rovným podílu napětí u1, zmenšeného napěťovým převodem příslušné odbočky, a odporu vnitřního odporu Ri.



Napětí na svorkách cívky u2 je potom



Protože napětí u2 odebíráme na odporu Rz, jež je připojen na odbočku s převodem p2, platí pro u2



Napěťový přenos pak nabývá tvar



V rezonanci je poměrné rozladění F nulové a pro přenos platí



Dosazením konkrétních hodnot získáváme


*** poškozená stránka částečně obnovena ze zálohy ***

dlabos.wz.cz