dlabos.wz.cz - pokud chcete nepatrně podpořit zkvalitnění tohoto webu, použijte odkaz přes reklamní systém http://7w.cz/666 a následně pokračujte kliknutím na šipku vpravo nahoře.

Může obsahovat pravopisné i faktické chyby. Obrázky lze zvětšit obvykle nabídkou pravým tlačítkem - zobrazit obrázek nebo otevřít obrázek.

paralelní rezonanční obvod

zadání

Je dán paralelní rezonanční obvod podle schématu

f0=460 kHz Ri=20 k L=242,5 H Rz=5,5 k Q0=100

1. Určete C₁ a C₂ tak, aby po připojení odporu R_z=5,5 k byla šířka pásma B₃=10 kHz

2. Ve společném grafu vyneste frekvenční závislosti impedance obvodu na svorkách cívky
   pro případy: a) naprázdno (R_i a R_z odpojeny)

b) při zatížení odpory R_i a R_z podle schématu

Rezonanční křivky vyneste v rozsahu alespoň 20 kHz v okolí f₀ a vyznačte v nich impedanci
v rezonanci a šířky pásma pro pokles o 3 dB a o 6 dB

3. Vypočtěte napěťový přenos při rezonanční frekvenci

teoretický rozbor

Vyjděme z admitance paralelního rezonančního obvodu

Za účelem získání vztahu pro rezonanční kmitočet f₀ položíme imaginární složku admitance Y rovnu nule

Výraz převedeme na pravou stranu rovnice

Rovnici vynásobíme výrazem L a dostáváme

Nyní rovnici vydělíme výrazem LC

Levou i pravou rovnici odmocníme

Odmocnina podílu je rovna podílu odmocniny čitatele a odmocniny jmenovatele

Za ₀ dosadíme výraz 2f₀

Rovnici vydělíme výrazem 2

Získali jsme tak tzv. Thomsonův vzorec, do kterého je však nutno dosazovat v uvedených jednotkách, což je nepraktické. Zavádíme proto jednodušší vztah používající pro kmitočet jednotek MHz, pro indukčnost jednotek H a pro kapacitu jednotek pF.

Umocníme

Rovnici vydělíme výrazem 4².10¹²

A získáváme výraz

Z něj také jednoduše odvodíme vztahy pro hodnoty prvků obvodu

Pro paralelní rezonanční obvod vyjadřujeme ztráty v reálných součástkách použitých k jeho konstrukci paralelními ztrátovými odpory R_L a R_C. Jejich paralelní kombinací je tvořen ztrátový odpor R_po, pomocí nějž definujeme tzv. činitel jakosti obvodu naprázdno Q₀

V provozních podmínkách je obvod připojen ke zdroji signálu s vnitřním odporem R_i a k zátěži R_z. Paralelní kombinace těchto odporů tvoří vnější tlumící odpor R_tl. Tento odpor se paralelně řadí k odporu R_po a tvoří s ním odpor R_p, pomocí nějž definujeme tzv. provozní činitel jakosti

Pokud budíme obvod z napěťového zdroje s napětím naprázdno u₁ a s vnitřním odporem R_i, lze tento transformovat na proudový zdroj s vnitřním odporem R_i a proudem

Porovnejme nyní provozní činitel jakosti Q s činitelem jakosti naprázdno

kde R_p je paralelní kombinace R_po a R_tl

Odstraníme složený zlomek a dostáváme

tedy

Rovněž můžeme odvodit vztah pro odpor R_tl

Roznásobíme

a vytkneme R_tl

Jmenovatele hlavního zlomku převedeme na společného jmenovatele

Po odstranění složeného zlomku dostáváme

Vztahy (5a) a (5b) neplatí pouze pro výše zmiňovaný případ, ale lze je použít i pro případ připojení dalšího tlumícího odporu k rezonančnímu obvodu. Namísto Q₀ pak dosazujeme původní Q před připojením dalšího tlumícího odporu R_tl. Místo R_po dosazujeme původní odpor R_p.

Často se za účelem snížení tlumení připojuje tlumící odpor k odbočce v indukční nebo kapacitní větvi.

Označme napěťový převod příslušné odbočky p, pro odbočku v indukční větvi platí

a pro odbočku v kapacitní větvi

Pro napětí u₂ platí

Pro proud i₂ platí

Pro transformovaný odpor platí

protože platí získáváme pro hodnotu transformovaného odporu vztah

Odpor připojený k odbočce v indukční nebo kapacitní větvi se tedy chová jako paralelně připojený odpor R’

Pokud do grafu vyneseme závislost absolutní hodnoty impedance, resp. admitance obvodu na kmitočtu, získáme rezonanční křivku. Tato křivka však není symetrická a nelze pomocí ní porovnávat obvody s různými parametry. Často proto vynášíme rezonanční křivky v poměrném měřítku. Existují různé způsoby, jak tak učinit. Můžeme například vynést poměry absolutní hodnoty impedance, resp. admitance ku impedanci v rezonanci |Z/Z₀|, resp. |Y/Y₀|a kmitočtu ku rezonančnímu kmitočtu f/f₀. V praxi se nejčastěji užívá vyjádření rezonanční křivky pomocí poměrného rozladění F, jež je definováno vztahem

Vraťme se k výrazu (1)

v rezonanci je admitance obvodu tvořena pouze vodivostí , pro poměrnou admitanci tedy platí

Odstraníme složené zlomky

Výraz v závorce vynásobíme výrazem

Nyní před závorku vytkneme výraz ₀C

Dosaďme za ze vztahu (1a)

Po zkrácení dostáváme

Výraz v závorce představuje poměrné rozladění F a výraz R_p₀C představuje činitel jakosti Q (4)

Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna odmocnině součtu čtverců reálné a imaginární složky

Převrácená hodnota tohoto výrazu představuje poměrnou impedanci

Často pro rezonanční obvod definujeme šířku pásma B. Je to kmitočtový rozdíl f₂-f₁, odpovídající určité domluvené změně impedance obvodu vzhledem k impedanci v rezonanci. Často se definuje pro změnu impedance o -3 dB, tj. na hodnotu . Poměrná impedance je potom

z čehož jasně vyplývá, že musí platit

Odpovídající poměrná rozladění jsou

Abychom zjistili, které kmitočty f₂, f₁ odpovídají tomuto poměrnému rozladění, je třeba vyjádřit ze vztahu
pro poměrné rozladění (8) kmitočet f

Rovnici vynásobíme výrazem f₀f

Získáváme tak kvadratickou rovnici

pro jejíž kořen platí

znaménko mínus před odmocninou však nemá z fyzikálních důvodů smysl a budeme tedy uvažovat pouze kořen

Ve výrazu pod odmocninou vytkneme f₀

Odmocnina součinu je rovna součinu odmocnin jednotlivých činitelů

Vytkneme f₀

Podíl odmocnin je roven odmocnině podílu jednotlivých členů

Získáváme tak vztah

Nyní dosadíme za F a vyjádříme šířku pásma B₃

Umocníme a odstraníme složené zlomky

Roznásobíme

Po sloučení dostáváme konečný výraz pro šířku pásma pro pokles o 3 dB

Můžeme rovněž vyjádřit vztah pro provozní činitel jakosti

Budíme-li rezonanční obvod z napěťového zdroje s napětím naprázdno u1 a vnitřním odporem R_i lze zjistit napěťový přenos . Jak je uvedeno výše, transformujeme napěťový zdroj na proudový s proudem . Odpor R_i je nyní paralelně připojen k odporu R_po a R_z a k cívce a kondenzátoru. Paralelní kombinace odporů R_i, R_z a R_po tvoří odpor R_p.

Z Ohmova zákona vyplývá, že pro napětí u₂ platí

Pokud se vrátíme k výrazu pro poměrnou impedanci, můžeme vyjádřit impedanci Z

Dosadíme za Z a i a dostáváme

Vyjádříme napěťový přenos

Při rezonanci, kdy je poměrné rozladění nulové nabývá výraz tvar

Obdobně bychom uvažovali i pro případ, kdy je obvod buzen z napěťového zdroje s odporem R_i připojeným na odbočku v kapacitní nebo indukční větvi. Pouze bychom uvažovali proud proudového zdroje jako podíl napětí naprázdno napěťového zdroje, zmenšeného napěťovým převodem příslušné odbočky, a odporu Ri. Pokud je na odbočce připojen zatěžovací odpor, odebíráme pak napětí u₂ z něj a proto přenos vynásobíme napěťovým převodem příslušné odbočky, na kterou je zatěžovací odpor připojen.

Řešení

1. Určete C₁ a C₂ tak, aby po připojení odporu R_z=5,5 k byla šířka pásma B₃=10 kHz

Nejprve vypočteme provozní činitel jakosti příslušný k požadovanému pásmu B₃. Do vztahu (9b) dosadíme konkrétní hodnoty

Nyní vyjádříme odpor R_po. Vyjádříme ho ze vztahu (3) a dosadíme konkrétní hodnoty

Vyjádříme rovněž odpor R_p ze vztahu (4) a dosadíme konkrétní hodnoty

Ze vztahu (5b) vypočteme hodnotu odporu R_tl

Nyní vypočteme hodnotu transformovaného odporu R_i. Použijeme vztahu (7)

Paralelní kombinace odporu R_i’ a transformovaného odporu R_z, tedy R_z’ tvoří odpor R_tl, platí tedy

Vyjádříme R_z’ – rovnici vynásobíme výrazem R_i’+R_z’

roznásobíme

Členy s R_z’ převedeme na jednu stranu, členy bez R_z na druhou

Vytkneme a osamostatníme R_z’

Dosadíme konkrétní hodnoty a dostáváme

Známe-li původní a transformovaný odpor, můžeme ze vztahu (7) vyjádřit napěťový převod příslušné odbočky

Dosazením konkrétních hodnot získáme napěťový převod odbočky v kapacitní větvi

Pro napěťový převod odbočky v kapacitní větvi platí vztah (6b), do nějž dosadíme za p

Pro výpočet celkové kapacity (C₁ v sérii C₂) nyní s výhodou použijeme vztah (2b), do nějž dosadíme

Pro kapacitu C dále platí

Nyní vyřešíme soustavu rovnic (12) a (13)

Z rovnice (12) vyjádříme C₁

a dosadíme do (13)

protože kapacita C₂ zcela určitě není nulová, můžeme jí celou rovnici vydělit

Získanou hodnotu dosadíme do rovnice (14)

Výsledné kapacity tedy jsou

C1=655,3 pF (případně z řady E6 680 pF) C2=1997,7 pF (případně z řady E6 1800 pF)

graf kmitočtové závislosti impedance na svorkách cívky – tabulky hodnot

a) obvod naprázdno b) obvod zatížen

Vypočtěte napěťový přenos při rezonanční frekvenci

Jak je uvedeno výše, transformujeme napěťový zdroj na zdroj proudový s vnitřním odporem R_i a proudem rovným podílu napětí u₁, zmenšeného napěťovým převodem příslušné odbočky, a odporu vnitřního odporu R_i.

Napětí na svorkách cívky u₂’ je potom

Protože napětí u₂ odebíráme na odporu R_z, jež je připojen na odbočku s převodem p₂, platí pro u₂

Napěťový přenos pak nabývá tvar

V rezonanci je poměrné rozladění F nulové a pro přenos platí

Dosazením konkrétních hodnot získáváme

*** poškozená stránka částečně obnovena ze zálohy ***

Může obsahovat pravopisné i faktické chyby. Obrázky lze zvětšit obvykle nabídkou pravým tlačítkem - zobrazit obrázek nebo otevřít obrázek.

dlabos.wz.cz - pokud chcete nepatrně podpořit zkvalitnění tohoto webu, použijte odkaz přes reklamní systém http://7w.cz/666 a následně pokračujte kliknutím na šipku vpravo nahoře.