Metody řešení lineárních elektrických obvodů


Lineární obvod je takový elektrický obvod, který se skládá výhradně z lineárních obvodových součástek.

Metody řešení:

- řešení pomocí Kirchhoffových zákonů

- řešení užitím smyčkových proudů

- řešení užitím uzlových napětí

- řešení superpozicí

- řešení pomocí Theveninovy (Northonovy) věty

- transfigurace

- duální obvody

- apod.


a) Řešení pomocí Theveninovy* (Northonovy**) věty:

Podstatou obou vět je poučení, jakým způsobem je možné libovolně složitý lineární obvod se zdroji napětí a proudu nahradit vzhledem ke zvolené dvojici svorek jediným náhradním ideálním zdrojem a jediným náhradním odporem, a tím řešení obvodu podstatně zjednodušit. Při tomto zjednodušování musí být náhradní obvod a původní obvod z hlediska připojené zátěže rovnocenné.

Ukázka řešení pomocí Theveninovy (Northonovy) věty na děliči:

Zatížený dělič Úprava dle Nezatížený dělič

Theveninovy věty

R2

Napětí náhradního zdroje: Un = U1*------------

R1 + R2

R1*R2

Odpor náhradního rezistoru: Rn = -----------

R1 + R2

Rz

Napětí na zátěži: U2 = Un*----------- = Un - URn = Un - I*Rn

Rn + Rz


b) Řešení užitím uzlových napětí:

Metoda je založena na použití 1.Kirchhoffova zákona***.

Při řešení postupujeme takto:

1) Zvolíme referenční uzel tam, kde největší počet členů (zde bude nulový potenciál).

2) Pro zbylé uzly určíme rovnice podle 1.Kirchhoffova zákona.

3) Řešíme soustavu rovnic, kde neznámé jsou uzlová napětí.

4) Pomocí uzlových napětí vypočítáme proudy nebo napětí na jednotlivých prvcích obvodu.

Ukázka řešení pomocí uzlových napětí:

Pro uzel A platí: I1 + I2 - I3 = 0 (A)


U1 - UA U2 - UA UA - UB UA

Pro jednotlivé proudy platí: I1 = -----------, I2 = ------------, I3 = ------------ = --------

R1 R2 R3 R3

U1 - UA U2 - UA UA

Dosadíme proudy do rovnice (A): ------------ + ------------ - -------- = 0 (1)

R1 R2 R3

Do rovnice (1) dosadíme známé hodnoty napětí zdrojů a odpory rezistorů, a vypočteme z rovnice napětí Ua na uzlu A. Tuto hodnotu dosadíme do rovnic pro jednotlivé proudy.


c) Řešení užitím smyčkových proudů:

Metoda je založena na použití 2.Kirchhoffova zákona****.

Při řešení postupujeme takto:

1) V jednotlivých členech obvodu označíme smysl předpokládaných proudů.

2) Volíme smyčky tak, aby každá větev byla alespoň v jedné z nich.

3) Zvolíme smysly smyčkových proudů.

4) Určíme rovnice pro všechny smyčky podle 2.Kirchhoffova zákona. Pro stanovení úbytku na odporech uvažujeme smyčkové proudy.

5) Vypočítáme smyčkové proudy.

6) Vypočítáme proudy skutečné pomocí proudů smyčkových (v případě, že skutečný proud vyjde záporný, značí to pouze to, že skutečný proud má opačný smysl, než jsme předpokládali).

Ukázka řešení pomocí smyčkových proudů:

Pro smyčku A platí: -U1 + UR1 + UR3 = 0 (A)

Pro smyčku B platí: U2 + UR2 + UR3 = 0 (B)

Dosadíme do rovnic za napětí na odporech: R1*IA + R3*(IA - IB) = U1 (A)

R2*IB + R3*(IB - IA) = -U2 (B)

Roznásobíme: R1*IA + R3*IA - R3*IB = U1 (A)

R2*IB + R3*IB - R3*IA = -U2 (B)

Vytkneme proudy IA a IB: IA*(R1 + R3) - R3*IB = U1 (A)

- R3*IA + IB*(R2 + R3) = -U2 (B)

Pro skutečné proudy platí: I1 = IA , I2 = -IB , I3 = IA - IB

Do soustavy rovnic (A) a (B) dosadíme známé hodnoty napětí zdrojů a odpory rezistorů, a soustavu vyřešíme, čímž získáme hodnoty smyčkových proudů IA a IB. Tyto hodnoty dosadíme do rovnic pro skutečné proudy.


d) Řešení superpozicí:

Metoda je založena na tom, že v lineárním obvodu, obsahujícím několik zdrojů napětí a proudů, můžeme určit proudy v libovolné větvi nebo napětí mezi dvěma libovolnými body jako algebraický součet proudů (napětí) způsobených jednotlivými zdroji samostatně, přičemž zbývající zdroje jsou vyřazeny. Je nutné dbát na orientaci proudů !!!

Při řešení postupujeme takto:

1) Vyřadíme, až na jeden, všechny zdroje (zdroje napětí nahradíme zkratem a zdroje proudu nahradíme rozpojeným obvodem).

2) Řešíme obvod s jedním zdrojem. V tomto obvodu řádně označíme směry proudů a napětí.

3) Opakujeme body 1), 2) dokud nevystřídáme všechny zdroje.

4) Sečteme výsledky jednotlivých řešení. Součet se řídí orientací proudů na daném prvku nebo napětí mezi danými body.

Ukázka řešení pomocí superpozice:

V tomto zapojení je vypočítat napětí U3 na rezistoru R3.

Nejprve zkratujeme zdroj U2 a obvod se zjednoduší podle obr. A. Vypočteme napětí U3a na rezistoru R3.

Poté zkratujeme zdroj U2 a obvod se zjednoduší podle obr. B. Vypočteme napětí U3b na rezistoru R3.

U3a = I1a * R23 kde I1a = U1 / Rca U3b = I1b * R13 kde I1b = U2 / Rcb

U1 R2 * R3 U2 R1 * R3

U3a = ------- * R23 kde Rca = R1 + ------------ U3b = ------- * R13 kde Rcb = R2 + ------------

Rca R2 + R3 Rcb R1 + R3

U1 U2

U3a = ------- * R2 || R3 U3b = ------- * R1 || R3

Rca Rcb

Dosadíme známé hodnoty napětí zdrojů a odpory rezistorů a vyřešíme dílčí napětí U3a a U3b na rezistoru R3.

Hodnotu skutečného napětí U3 na rezistoru R3: U3 = U3a + U3b

Hodnotu skutečného proudu I3 na rezistoru R3: I3 = U3 / R3


* Daný lineární obvod lze nahradit sériovým spojením ideálního zdroje napětí s náhradním rezistorem. Napětí náhradního zdroje Un je rovno napětí naprázdno mezi uvažovanými svorkami. Náhradní odpor

Rn náhradního rezistoru se rovná velikosti odporu mezi uvažovanými svorkami, jsou-li všechny zdroje vyřazeny (zdroje napětí nahrazeny zkraty a zdroje proudu nahrazeny přerušením obvodu).

** Daný lineární obvod lze nahradit paralelním spojením ideálního zdroje proudu s náhradním rezistorem. Proud náhradního zdroje In je roven proudu nakrátko mezi uvažovanými svorkami. Náhradní odpor

Rn náhradního rezistoru se rovná velikosti odporu mezi uvažovanými svorkami, jsou-li všechny zdroje vyřazeny (zdroje napětí nahrazeny zkratem a zdroje proudu nahrazeny přerušením obvodu).

*** Součet proudů procházejících uzlem se rovná nule (+ přitékající, - odtékající).

**** Součet napětí zdrojů a úbytků napětí na spotřebičích se rovná nule (+ zdroje, - spotřebiče).

dlabos.wz.cz